「琴弦的振動顯示了幾何學,而天體的運行展現出音樂」……畢達哥拉斯 (西元前570–西元前495 )
近代的天文學需要深厚的數學及物理基礎。然而,在二千多年前的希臘,天文的研究僅使用簡單的幾何和三角學。主要原因是當時的天文僅限於描述、記錄天體運行的軌跡,況且,當時物理知識太少,因此也沒有施展的空間。本文的重點:即使只使用簡單的數學(相當於現代的國中數學),希臘的天文學家竟然可以推算出和今天極接近的「地球半徑」及「地球到月球的距離」!
【希臘人認知地球是完美的球體】
早在西元前500年,畢達哥拉斯就認為地球是完美的球體,到底他的論點是基於觀察結果或是他的神秘美學觀點就不得而知,或許兩者皆是。然而,畢氏認為真理一定呈現出完美,簡潔的特性,因此,地球和人類觀測得到的天體都應該是完美的球體!不要小看畢氏這種「從混沌中尋找真理Order out of Chaos」的哲學態度。事實上此信念一直主導西方的科學發展迄今,從啓蒙時期的牛頓到20世紀的愛因斯坦都是如此。有趣的是,一向強調實用的中國文明,一直到17世紀還認為地球是平的。
【埃拉托斯特尼推論地球周長】
早在西元前500年,希臘人就已經認知地球是球體,如天上的星星一般都應該是球體。當然他們不能像近代太空人阿姆斯壯離開地球回看到地球真是球體,只是假設並且相信地球是球體,而以後的天文學家、物理學家也以此為基礎來進行運算,屢屢吻合且正確。所以在西方文明一直相信地球是個球體,否則如果地球是平的,哥倫布豈不是航海到盡頭就掉出去了?或者是永遠回不到出發點?
正因為希臘人認知地球是球體,因此會對地球的周長與半徑有興趣,希臘天文學家埃拉托斯特尼Eratosthenes在不離開埃及的情況下計算了地球的周長。他假設太陽光是平行光,並在不同緯度之下的同一時間,有的地方太陽是在正上方,有的地方是略有角度。利用垂直桿和影子的直角三角形的比例圖,得到角度大約是7°(或是圓圈的1/50),並將地球視為球形,他認為地球的周長是兩地的距離的五十倍,見圖1、2。角度7°對應AB弧長,就能推導出角度360°對應的地球圓周長。有了周長後就可以推出半徑。這個方法推出的地球周長相當於四萬公里,和我們現在所測得的數字40,075.017公里相差一百公里以內。此方法僅僅利用到國中數學。
圖1
圖2
【喜帕恰斯Hipparchus 推算地球半徑】
在希臘時期已經有狹義三角函數的概念,狹義的意思是僅侷限於直角三角形,並將這些關係列成表格,利用表格來查不同角度的比例。在此我們說明希臘天文學家喜帕恰斯的方法,利用基本相似三角形定理,來推算地球半徑。
基本幾何學的「相似三角形定理」,如圖3所示:
圖3
相似三角形:與大小無關,每一對應邊的比例都是相等、每一個對應角度相等。保持直角∠C在右下、左上的斜邊c長度固定,而左下角度∠B越大,會使得高度b越大,也就是角度∠B越大,邊長b就越大,見圖4。
圖4
因此可以做出一個比例表,就是後來的正弦三角函數 (sin函數),但在那時只有到90度(狹義三角函數)。
∠B |
15° |
30° |
45° |
60° |
75° |
87.67° |
b/c |
0.2588 |
0.5 |
0.7071 |
0.8660 |
0.9659 |
0.99924 |
三角函數表在古代天文測量,發揮極大的價值。以喜帕恰斯的重要發現為例,可以算出地球半徑,及算出地球到月亮的距離。
喜帕恰斯計算地球半徑的過程概述如下:我們爬上一座3英里高的山,向地平線望去,測量視線和地面垂直線之間的夾角,見圖5中的∠CAB,測得這角近似於87.67°
圖5:計算地球半徑R示意圖
由圖5可知要利用三角函數的正弦函數就能計算出R(地球半徑),正弦函數是「對邊/斜邊」,利用查表sin(87.67°)=0.99924,及sin(87.67°)=,可得到
喜帕恰斯計算出地球半徑3944.37英里。與現代科技,測量到的地球半徑 3961.3英里(6371公里),只差17英里,誤差不到0.4%!2200年前的喜帕恰斯運用三角及基本幾何學,就得到如此驚人的結果,簡直是「酷」!此方法僅利用到高中數學。
【歷年來觀察地球半徑的紀錄】
|
赤道半徑 |
極地半徑 |
|
Equatorial radius (km) |
Polar radius (km) |
Maupertuis (1738) |
6,397.300 |
6,363.806 |
Everest (1830) |
6,377.276 |
6,356.075 |
Airy (1830) |
6,377.563 |
6,356.257 |
Bessel (1841) |
6,377.397 |
6,356.079 |
Clarke (1866) |
6,378.206 |
6,356.584 |
Clarke (1878) |
6,378.190 |
6,356.456 |
Clarke (1880) |
6,378.249 |
6,356.515 |
Helmert (1906) |
6,378.200 |
6,356.818 |
Hayford (1910) |
6,378.388 |
6,356.912 |
International (1924) |
6,378.388 |
6,356.912 |
NAD 27 (1927) |
6,378.206 |
6,356.584 |
Krassovsky (1940) |
6,378.245 |
6,356.863 |
WGS66 (1966) |
6,378.145 |
6,356.760 |
Australian National (1966) |
6,378.160 |
6,356.775 |
New International (1967) |
6,378.158 |
6,356.772 |
GRS-67 (1967) |
6,378.160 |
6,356.775 |
South American (1969) |
6,378.160 |
6,356.775 |
WGS-72 (1972) |
6,378.135 |
6,356.751 |
GRS-80 (1979) |
6,378.137 |
6,356.752 |
NAD 83 |
6,378.137 |
6,356.752 |
WGS-84 (1984) |
6,378.137 |
6,356.752 |
IERS (1989) |
6,378.136 |
6,356.751 |
IERS (2003) |
6,378.137 |
6,356.752 |
可以發現赤道半徑與極地半徑(地心到南極或北極的球半徑)自18世紀就修正不到1公里,代表原本的方法就相當精準,並且可知赤道半徑與極地半徑不同,可以認知到地球是一個比較扁的球體。
【喜帕恰斯Hipparchus 推算地球到月球的距離】
要如何計算地球到月球的距離?由上一個問題得到地球半徑是3944.37英里,而∠A是C點的緯度,從經緯系統得知∠A約等於89.05°。並假設:
1. 從地球中心到月球中心為圖中的A點到B點
2. 由月球中心B作一條至地球表面的切線
3. 切點為C,如圖所示。
圖6:計算地球到月球距離示意圖
由圖6可知要利用三角函數的餘弦函數就能計算出A點到B點的長度,餘弦函數是「鄰邊/斜邊」,利用查表cos(89.05°)=0.01658,及cos(89.05°)=,可得到
喜帕恰斯計算出地球到月球距離238000英里。與現代高科技測量到的平均距離240000英里(384000公里)。相比較之下,誤差不到0.8%!所以說三角函數的確可靠。相似形是三角函數的基礎,三角函數是測量的基礎,三角函數能完成很多事情。
【本篇希臘天文學家介紹】
● 埃拉托斯特尼
埃拉托斯特尼是西元前276年至西元前194年的希臘數學家、地理學家、歷史學家、詩人、天文學家,見圖7。埃拉托斯特尼的貢獻主要是設計出經緯度系統,第一個計算出地球的直徑與周長。
圖7
同時他也是阿基米德的好友。他的貢獻有
1. 約西元前255年,發明渾天儀,測量天體的儀器,一直用到17世紀。
2. 約西元前240年,他計算出地球的直徑。
3. 約西元前200年,他創造「地理學」(geography)一詞來表示研究地球的學問。
4. 提出質數篩選方法:埃拉托斯特尼篩法。
● 喜帕恰斯
喜帕恰斯是約西元前190年至西元前120年的古希臘天文學家,見圖8,傳說中視力非常好,是第一個發現巨蟹座的M44蜂巢星團,除此之外還有以下的貢獻:
1. 星星的亮度-「視星等Apparent Magnitude」,由他第一個制定,將星星分成6個等級。而到現在發現更多的星星,喜帕恰斯所做 的星等已經無法涵蓋全部,所以增加「負星等」,來涵蓋當時沒看到的星星。
2. 發現「 歲差 」現象,地球自轉角度偏移現象,後來因牛頓才得以證實。
3. 發現一年有365.25天多,與現在測量只差14分鐘。月亮的週期29.53059天,與現在差不多。
4. 喜帕恰斯也被認為是三角學的創始者
圖8
為了紀念喜帕恰斯,歐洲太空總署發射的一顆天體測量衛星就命名喜帕谷衛星(High Precision Parallax Collecting Satellite,縮寫為Hipparcos),全稱為「喜帕谷視差測量衛星」。喜帕谷衛星於1989年8月8日由亞利安4號火箭運載升空,1993年除役。
【結論】
1985至1992年間,有一個相當受歡迎的電視影集「馬蓋先(MacGyver) 」。
其中主角馬蓋先是一位聰慧、樂觀且極有創造力的探員。他盡可能使用非暴力手段對付暴力,堅持不使用鎗。具有科學精神的馬蓋先,經常利用身邊隨手可得的簡單物品(如膠帶、瑞士刀) 快速組合成精巧的小工具,當場解決面臨的複雜問題。
馬蓋先的故事對我的啟示很大,它使我領悟到:所謂創造力就是拋棄已有的思考模式,從新的角度來解決問題。同樣地,即使只使用簡單的數學(相當於現代的國高中數學),希臘的天文學家竟然可以推算出和今天極接近的「地球半徑」及「地球到月球的距離」!
現今的台灣的教育方法仍停留在博學強記,似乎不瞭解網際網路時代的競爭力,來自創新思維而非博學多聞!(再博學也比不過Google search)。這些希臘天文學家給我們的啟示就是:如何化繁為簡,如何充分發揮想像力!為何國中數學不採用上述的實例教學,以啟發學生的想像力,反而編出一些無聊的計算題,來破壞學生的興趣!